Алгебраическая геометрия и теория чисел Рациональные и эллиптические кривые Острик Цфасман — Читать онлайн, скачать бесплатно PDF (пдф)

Острик, Цфасман: книга Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые авторов Острика и Цфасмана представляет собой фундаментальное исследование на пересечении двух важнейших разделов современной математики: алгебраической геометрии и теории чисел. Она посвящена одному из центральных объектов этих дисциплин - кривым, которые играют ключевую роль как в теоретических изысканиях, так и в практических приложениях, таких как криптография, теория кодирования и квантовая информатика. Алгебраическая геометрия традиционно занимается изучением геометрических объектов, которые определяются алгебраическими уравнениями. Кривые - это наиболее простые примеры таких объектов, представляющие собой одномерные многообразия в пространстве. В данной книге особое внимание уделено двум классам кривых: рациональным и эллиптическим. Рациональные кривые, определяемые как кривые рода 0, часто рассматриваются как базовые элементы в алгебраической геометрии. В книге подробно анализируются их свойства, приводятся примеры различных моделей таких кривых, а также рассматриваются методы их классификации и исследования. Важную роль играет обсуждение вопросов рациональности и возможности параметризации таких кривых с использованием рациональных функций. Однако наибольший интерес вызывают эллиптические кривые, которые являются более сложными объектами с глубокими связями как в алгебраической геометрии, так и в теории чисел. Эллиптические кривые можно определить как кривые рода 1, обладающие групповым законом на своих точках, что делает их мощным инструментом для решения разнообразных математических задач. В книге детально исследуются арифметические свойства эллиптических кривых, включая их ранги, торсионные подгруппы, поведение над конечными полями и применение в криптографии. Авторы также уделяют внимание вопросам рациональной точки на эллиптических кривых, что связано с одной из самых известных нерешенных проблем в математике - гипотезой Бирча и Свиннертона-Дайера. Эта гипотеза предполагает связь между числом рациональных точек эллиптической кривой и поведением L-функции, связанной с этой кривой, в окрестности особой точки. В книге приводится доступное объяснение данной гипотезы, ее история и текущее состояние исследований в этой области. Дополнительно рассматриваются методы работы с эллиптическими кривыми в контексте криптографии и защиты данных. Одним из наиболее широко используемых криптографических методов является криптография на эллиптических кривых (ECC), которая основывается на трудности нахождения дискретного логарифма в группе точек эллиптической кривой. Авторы обсуждают не только математические аспекты данного метода, но и его прикладные возможности в современных системах защиты данных. Книга Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые представляет собой глубокое и исчерпывающее изложение сложных математических концепций, которые имеют широкое применение в различных областях математики и компьютерных наук. Она будет полезна как студентам старших курсов, начинающим свое знакомство с алгебраической геометрией и теорией чисел, так и специалистам, работающим в этой области.